项目名称： 非线性偏微分方程的自适应与多尺度计算方法

推荐单位： 北京市

项目简介： 本项目属计算数学基础研究领域。

偏微分方程的自适应计算方法是计算数学和科学计算的重要研究领域。自适应有限元方法根据有限元后验误差估计自动调整网格，是一类具有最优计算复杂性的计算方法，具有重要的科学意义和实用价值。1995年以来陈志明在超导数学模型、波的散射问题、非饱和水流问题的后验误差分析和自适应方法的系统研究中取得多项国际领先成果。2001年针对Ginzburg -Landau超导数学模型，引入了非线性偏微分方程组有限元后验误差分析对偶论证的新方法，被Hoffmann和Tang在2003年出版的专著中全文引述。2003年以来提出和发展了波动散射问题的自适应PML（Perfectly Matched Layer完全匹配层）方法，2006年发表了非线性对流扩散问题自适应计算的创新性工作，后二项工作是陈志明2006年在西班牙举行的国际数学家大会上所作45分钟邀请报告的主题。

非均匀多孔介质中流动问题在油藏模拟、环境科学中具有广泛应用，这类问题计算的本质困难在于地质构造的非均匀多尺度性。1999年以来陈志明从研究偏微分方程解的多尺度性质的数学刻画入手，在保持质量守恒的多尺度混合有限元方法、处理机井奇性问题的多尺度计算方法、非线性对流扩散方程的尺度提升方法等问题的研究中取得多个原创性成果。2003年关于多尺度混合有限元方法的开创性工作在工程界得到广泛重视，单篇被SCI他人引用37次。2004年提出的处理机井奇性的多尺度计算方法，在工程界得到很高评价，被认为是油藏模拟机井的数学严格处理上的先驱性（pioneering）工作。

本项目发表学术论文40篇，其中被SCI收录35篇，按 SCI被他人引用276次。陈志明 2000年入选中国科学院"百人计划"，2000年获国家杰出青年基金，2001年获冯康科学计算奖。2005年，2007年分别获选为计算数学国际著名期刊美国SIAM Journal on Numerical Analysis和Mathematics of Computation的编委。2006年在西班牙举行的国际数学家大会上做45分钟邀请报告。

主要发现点： 1.核心发现点:

1) 提出并发展了波动散射问题的自适应PML方法

2003年针对光栅问题，首次提出了自适应PML(Perfectly Matched Layer完全匹配层)方法,该方法克服了传统经验性方法的缺点，利用严格的后验误差估计来确定PML层的厚度和PML吸收系数，利用网格自适应方法来求解PML方程，因此对PML层的厚度选取不敏感，且具有最优计算复杂性。2005年建立了Helmholtz方程散射问题的自适应PML方法，发现并证明了第一类Hankel函数在上半复平面的一致指数衰减性，构成了进一步电磁散射问题自适应PML方法的基础(论文[2]，[5])。（所属学科：偏微分方程数值解）

2) 建立非线性对流扩散问题的L^1后验误差估计，构造出具有最优复杂性的自适应方法

2006年针对非饱和水流问题，发表了非线性对流扩散问题后验误差分析的创新性工作。该工作利用"边界层序列"技巧，首次将非线性守恒律方程著名的Kruzkov技巧推广到带有边界条件的双曲抛物耦合的非线性方程上，成功地得到丰满的L^1后验误差估计。基于后验误差估计，构造了一个具有最优计算复杂性的自适应线方法（AML） 。虽然自适应方法求解椭圆问题的最优计算复杂性早已为人熟知，但是AML方法对于发展方程的最优性却是本项目发现的，它的发现具有重要的科学意义（论文[3]）。（所属学科：偏微分方程数值解）

3) 提出保持质量守恒的多尺度混合有限元方法

在2003年发表的开创性论文中，提出了多尺度混合有限元方法，该方法改进了多尺度有限元方法不保证质量守恒的缺点，更加适合于非均匀介质中流动问题的数值模拟。新方法被成功地应用于油藏模拟单相流问题的数值模拟，利用新方法仅用4000余个网格单元就可以得到与传统方法用一百多万个网格单元相同的计算结果，效率提高10倍以上（论文[1]）。（所属学科：偏微分方程数值解）

2.重要发现点：

4) 提出处理机井奇性的多尺度计算方法

2003年首次建立了在工程界著名的Peaceman机井模型的数学基础，将其改造使之适用于任意有限元网格和非均匀介质。通过引进针对机井奇性的新的有限元基函数，提出了处理机井奇性的高效多尺度计算方法，针对局部周期的介质得到了最优误差估计，对非均匀多孔介质进行了成功的数值模拟（论文[4]）。（所属学科：偏微分方程数值解）

主要完成人： 陈志明

代表作[1]-[8]主要学术思想的提出者，对发现点(1)-(4)作出了创造性贡献：提出并发展了波动散射问题的自适应PML方法；建立了非线性对流扩散问题的L^1后验误差估计，构造了具有最优复杂性的自适应方法；提出了保持质量守恒的多尺度混合有限元方法；提出了处理机井奇性的多尺度计算方法等。旁证材料见代表性论文[1]-[8]，重要论文[9]-[18]和附件证明材料。本人在该项研究中的工作量占本人工作量的85%。